Главная страница
qrcode

СРС_Классификация движений плоскости. Материалы по дисциплине Геометрия (часть 2) для студентов направления Педагогическое образование


Скачать 420.2 Kb.
НазваниеМатериалы по дисциплине Геометрия (часть 2) для студентов направления Педагогическое образование
Дата23.03.2020
Размер420.2 Kb.
Формат файлаdocx
Имя файлаСРС_Классификация движений плоскости .docx
ТипРешение
#65794
Каталог

Материалы по дисциплине «Геометрия» (часть 2)

для студентов направления «Педагогическое образование»

Преподаватель С.Р. Мугаллимова

Вопросы для самостоятельного изучения по теме «Классификация движений плоскости»
Понятие геометрического места точек (ГМТ). Простейшие ГМТ на плоскости и в пространстве: серединный перпендикуляр к отрезку, биссектриса заданного угла. Решение задачи на поиск ГМТ.
Геометрическое место точек ( ГМТ), обладающих некоторым свойством, - это фигура, состоящая из всех точек, для которых выполнено это свойство.

Решение задачи на поиск ГМТ должно содержать доказательство того, что :

А) точки, обладающие требуемым свойством, принадлежат фигуре ф, являющейся ответом задачи;

Б) все точки фигуры ф обладают требуемым свойством.

ГМТ, обладающих двумя свойствами, является пересечением (т.е. общей частью) двух фигур: ГМТ, обладающих первым свойством, и ГМТ, обладающих вторым свойством.

Три важнейших ГМТ:

А) ГМТ, равноудаленных от точек А и В, является серединным перпендикуляром к отрезку АВ;

Б) ГМТ, удаленных на расстояние R от данной точки О, является окружностью радиуса R с центром О;

В) ГМТ, из которых данный отрезок АВ виден под данным углом, является объединением двух дуг окружностей, симметричных относительно прямой АВ ( точки А и В не принадлежат ГМТ).

Серединным перпендикуляром к заданному отрезку называется прямая, перпендикулярная этому отрезку и проходящая через его середину.

Теорема. Серединный перпендикуляр к отрезку является геометрическим местом

точек, одинаково удаленных от концов этого отрезка.

Доказательство. Пусть дан отрезок АВ и точка О - его середина. Покажем, что геометрическим местом точек, одинаково удаленных от точек А и В, является серединный перпендикуляр к отрезку АВ. Действительно, очевидно, что точка О одинаково удалена от точек А, В и принадлежит серединному перпендикуляру. Если точка С одинаково удалена от точек А и В и не совпадает с точкой О, то треугольник АВС равнобедренный и СО - медиана. По свойству равнобедренного треугольника

медиана является также и высотой. Значит, точка С принадлежит серединному перпендикуляру. Обратно, пусть точка С принадлежит серединному перпендикуляру и не совпадает с О, тогда прямоугольные треугольники АОС и ВОС равны (по катетам).

Следовательно, АС - ВС.
Теорема. Биссектриса угла является геометрическим местом точек, лежащих внутри данного угла и одинаково удаленных от его сторон.

Доказательство. Рассмотрим угол с вершиной в точке О и сторонами а, b. Пусть точка С лежит внутри данного угла. Опустим из нее перпендикуляры СА и СВ на стороны а и b. Если СА = СВ, то прямоугольные треугольники АОС и ВОС равны (по гипотенузе и катету). Следовательно, углы АОС и ВОС равны. Значит, точка С принадлежит биссектрисе угла. Обратно, если точка С принадлежит биссектрисе угла,

то прямоугольные треугольники АОС и ВОС равны (по гипотенузе и острому углу). Следовательно, АС = ВС. Значит, точка С одинаково удалена от сторон данного угла.

    Конструктивное задание движения плоскости. Теорема о задании движения плоскости.
    Конструктивное задание движения плоскости. Задать преобразование — это значит указать такие начальные условия, при которых можно однозначно построить образ каждой точки при этом преобразовании. Иными словами, существует единственное преобразование, при котором заданные начальные условия имеют место.

    Теорема (о задании движения плоскости). Пусть даны три неколлинеарные точки A, B, C и три точки A1, B1, C1 такие, что A1B1 =AB, B1C1 = BC, C1A1 = CA. Тогда существует и только одно движение плоскости, которое отображает точку A на точку A1, точку B на точку B1 и точку C на точку C1. Из условия неколлинеарности точек A, B, C и равенств соответствующих расстояний следует, что точки A1, B1, C1 также неколлинеарны. Пусть a — замкнутая полуплоскость с границей AB, содержащая точку C, и a1 — замкнутая полуплоскость с границей A1B1, содержащая точку C1. Пусть a¯ и a¯1 — две другие замкнутые полуплоскости соответственно с границами AB и A1B1 (рис. 1). Зададим преобразование f плоскости следующими условиями: каждой точке M плоскости поставим в соответствие такую точку M1, что A1M1 = AM, B1M1 = BM и M1 ∈ ∈ a1 при M ∈ a, но M1 ∈ a¯1 при M ∈ a¯. Отсюда, в частности, следует, что f(A) = A1, f(B) = B1, f(C) = C1 и образом прямой AB при преобразовании f является прямая A1B1. Докажем, что преобразование f — движение. Пусть f(N) = N1. Надо доказать, что M1N1 = MN. Если точки A, M, N коллинеарны, то равенство этих расстояний очевидно. Если же эти точки неколлинеарны, то из равенства треугольников AMB и A1M1B1 и равенства треугольников ANB и A1N1B1 следует равенство углов MAN и M1A1N1 и затем равенство треугольников MAN и M1A1N1, откуда M1N1 = MN. Докажем единственность движения f с заданными условиями. Если бы кроме f существовало такое движение g, что g(A) = A1, g(B) = B1, g(C)=C1, то нашлась бы такая точка P, что f(P)=P1, g(P)=P2, P1 не равно P2. Точки P1 и P2 должны быть в одной полуплоскости с границей A1B1. По определению движения AP = A1P1 = A1P2 и BP = B1P1 = B1P2. Так как точки A1 и B1 равноудалены от точек P1 и P2, то они лежат на серединном перпендикуляре к отрезку P1P2. Оказалось, что точки P1 и P2 лежат в разных полуплоскостях от прямой A1B1. Полученное противоречие опровергает предположение f неравно g. При доказательстве этой теоремы обнаружился один из способов построения образа точки при движении с помощью одного циркуля (рис. 2).

      Виды движений плоскости и пространства и их неподвижные точки.
      Параллельный перенос. Определение. Параллельным переносом, или, короче, переносом фигуры, называется такое ее отображение, при котором все ее точки смещаются в одном и том же направлении на равные расстояния (рис.3), т.е. при переносе каждым двум точкам X и Y фигуры сопоставляются такие точки X’ и Y’, что XX’ = YY’. Основное свойство переноса: Параллельный перенос сохраняет расстояния и направления: X’Y’ = XY. Отсюда выходит, что параллельный перенос есть движение, сохраняющее направление и наоборот, движение, сохраняющее направление, есть параллельный перенос. Из этих утверждений также вытекает, что композиция параллельных переносов есть параллельный перенос. Параллельный перенос фигуры задается указанием одной пары соответствующих точек.

      Центральная симметрия. Определение 1. Точки A и A’ называются симметричными относительно точки О, если точки A, A’, O лежат на одной прямой и OX = OX’. Точка О считается симметричной сама себе (относительно О). Две фигуры называются симметричными относительно точки О, если для каждой точки одной фигуры есть симметричная ей относительно точки О точка в другой фигуре и обратно. Как частный случай, фигура может быть симметрична сама себе относительно некоей точки О. Тогда эта точка О называется центром симметрии фигуры, а фигура - центрально-симметричной. Определение 2. Центральной симметрией фигуры относительно О называется такое отображение этой фигуры, которое сопоставляет каждой ее точке точку, симметричную относительно О. Основное свойство: Центральная симметрия сохраняет расстояние, а направление изменяет на противоположное. Иначе говоря, любым двум точкам X и Y фигуры F соответствуют такие точки X’ и Y’, что X’Y’ = -XY. Центральная симметрия фигуры задается указанием одной пары существующих точек: если точка А отображается на А’, то центр симметрии - это середина отрезка AA’.

      Зеркальная симметрия (отражение в плоскости). Определение. Отображение фигуры, при котором каждой ее точке соответствует точка, симметричная ей относительно данной плоскости, называется отражением фигуры в этой плоскости (или зеркальной симметрией). Теорема 1. Отражение в плоскости сохраняет расстояния и, стало быть, является движением. Теорема 2. Движение, при котором все точки некоторой плоскости неподвижны, является отражением в этой плоскости или тождественным отображением. Зеркальная симметрия задается указанием одной пары соответствующих точек, не лежащих в плоскости симметрии: плоскость симметрии проходит через середину отрезка, соединяющего эти точки, перпендикулярно к нему.

      Фигуры вращения. Фигура называется фигурой вращения, если существует такая прямая, любой поворот вокруг которой совмещает фигуру саму с собой, другими словами, отображает ее саму на себя. Такая прямая называется осью вращения фигуры. Простейшие тела вращения: шар, прямой круговой цилиндр, прямой круговой конус.

      Неподвижные точки движений пространства. Важной характеристикой движения пространства является множество его неподвижных точек. Здесь могут представиться лишь следующие пять случаев:
      У движения неподвижных точек нет (нетождественный параллельный перенос).
    1. Движение имеет лишь одну неподвижную точку (центральная симметрия).
    2. Множество неподвижных точек движения пространства является прямой (поворот вокруг прямой).
    3. Множество неподвижных точек движения пространства является плоскостью (зеркальная симметрия).
    4. Множество неподвижных точек движения пространства является всем пространством (тождественное движение).
      Композиции движений. Движения плоскости как композиции осевых симметрий.
      Рекомендуемая литература: 1. Вернер А.Л., Кантор Б.Е., Франгулов С.А. Геометрия. Ч.1 Учебное пособие для физико-математических факультетов педагогических институтов. – СПб.: «Специальная литература», 1997 . – 352 с. 2. Понарин Я. П. Элементарная геометрия: В 2 т. – Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. – М.: МЦНМО, 2004. – 312 с.
        Движения первого и второго рода. Классификация движений плоскости. Теоремы о движениях первого и второго рода.
        Рекомендуемая литература: 1. Вернер А.Л., Кантор Б.Е., Франгулов С.А. Геометрия. Ч.1 Учебное пособие для физико-математических факультетов педагогических институтов. – СПб.: «Специальная литература», 1997 . – 352 с. 2. Понарин Я. П. Элементарная геометрия: В 2 т. – Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. – М.: МЦНМО, 2004. – 312 с.
          Паркеты, бордюры и орнаменты и их геометрическое обоснование.
          Рекомендуемая литература: Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия: учебное пособие для учащихся V – VI классов. – М.МИРОС, 1992.
            *Творческое задание: Необходимо найти в окружающей обстановке изображения, в которых используются движения плоскости или движения пространства. Сделать фотографию. Обработать изображение, выделив на нем признаки движений. Сопроводить комментариями, описывающими вид движений.

            Пример. На рисунке 1 – изображение, лежащее в основе обоев, наклеенных в комнате. На рисунке 2 выделены ось симметрии (желтым) и два вектора параллельных переноса (красным). Таким образом, орнамент получен в результате композиции осевой симметрии и двух параллельных переносов.

            Рис. 1

            Рис. 2

            Выполненное задание сохранить в формате *.pdf и выложить на портал.
            перейти в каталог файлов


связь с админом