Главная страница

6-7 классы


Скачать 56.5 Kb.
Название6-7 классы
Дата11.04.2019
Размер56.5 Kb.
Формат файлаdoc
Имя файлаnizhegorodskiy_marafon_2013-14_uch._goda_6-11_klassy.doc
ТипРассказ
#64883
Каталог

С этим файлом связано 321 файл(ов). Среди них: poyasnitelnaya_zapiska_k_tvorcheskomu_proektu.docx, гагарин.ppt, реферативный обхор.docx, Технологическая карта математика.doc, mohnatye_tyazhelovesy.docx, Рубежный контроль №1.docx, 0018169d-d791fc1a.docx, производственный календарь 2019.rtf, Джазовая музыка.pptx, Щелкунчик.pptx и ещё 311 файл(а).
Показать все связанные файлы

Нижегородский марафон 2013-14 учебного года
(6-7 классы)1. Вернувшийся из похода рыцарь рассказал, что видел город, в котором 9 прямых улиц. На каждой улице по 5 перекрёстков (пересечений с другими улицами), а всего перекрёстков 19. Враги рыцаря обвинили его во лжи. Были ли на то основания? (С.Волчёнков)

2. a — натуральное число, простое число p делит 5a–1 и a–10. Докажите, что p делит a–3.

3. Найдите все числа, равные утроенной сумме своих цифр. (Фольклор)

4. Каждому из восьми человек сообщили натуральное число. Сумма всех чисел равна 14. Докажите, что некоторых из этой компании можно познакомить друг с другом так, чтобы у каждого количество знакомых было равно его числу. (Фольклор)

5. Докажите, что существует 1000000 последовательных натуральных чисел, среди которых ровно 5 квадратов простых чисел. (Д. Карпов)

6. Каждая клетка доски 1010 окрашена в один из 13 цветов. Докажите, что найдется строка или столбец, в котором есть клетки не менее, чем трех различных цветов. (По мотивам Румынии, 2004)

7. Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке O, а на стороне AD выбрана точка K такая, что AK = 2, KD = 1. Оказалось, что KCD = 30. Чему равен отрезок OK?

8. Когда Маша ушла с Дня Рождения, то девочек на празднике осталось 1/5 от всех присутствующих детей. Но когда Маша вернулась, то девочки стали составлять уже четверть всех присутствующих. Сколько мальчиков было на празднике? (Crux Mathematicorum, том 33, N 6)

9 В прямоугольном торте 8 м  4 м вырезали средний кусок так, как показано на рисунке, и отдали его десяти девочкам, а остальное съели шесть мальчиков. Оказалось, что все дети съели поровну. Найдите длину отрезка AB.

10. На острове есть два племени: лжецов, которые всегда лгут, и рыцарей, которые всегда говорят правду. Каждый житель острова дружит со всеми соплеменниками и с некоторыми другими аборигенами. Каждый житель острова сказал, что среди его друзей соплеменники составляют большую часть. Докажите, что племя рыцарей многочисленнее.
11. Дан выпуклый четырехугольник ABCD. Известно, что CAD= DBA= 40, CAB= 60, CBD= 20. Чему может быть равен угол CDB?
12. Первый человек может выкопать траншею за 2 часа, второй – за 3 часа, третий – за 5 часов и четвертый – за 6 часов. За какое время будет выкопана эта траншея, если все четверо начинают работу одновременно и работают каждый со своей постоянной скоростью?(фольклор)

13. На окружности расставлено четное число красных, зелёных и синих фишек, разделяющих окружность на равные дуги. Напротив каждой красной фишки, стоит синяя фишка, а рядом с каждой синей стоит зелёная. Докажите, что если красных фишек не меньше, чем синих, то зелёных не меньше, чем красных.

14. При каких n первые n натуральных чисел можно разбить на 4 группы с равными суммами?

15. Какое наибольшее количество натуральных чисел, не превосходящих 100, можно выбрать таким образом, чтобы никакая сумма двух выбранных чисел не делилась на их разность? (KözepiskolaiMatematikaiLapok, 2007)

16. Каждая точка плоскости покрашена в красный или синий цвет. Может ли оказаться, что на каждой окружности радиуса 1 ровно одна синяя точка?

17. Можно ли разрезать какой-нибудь треугольник на выпуклые пятиугольники? Пятиугольник называется выпуклым, если все его углы меньше 180.

18. В суперлиге играет 20 футбольных команд. Чемпионат разыгрывается в один круг (каждые две команды играют между собой один раз, за победу дают 3 очка, за ничью 1, за поражение очков не дают). По итогам чемпионата составили турнирную таблицу, в которой команды упорядочены по количеству очков. Какая наибольшая разница может быть между двумя командами, занимающими соседние строчки турнирной таблицы?

19. В квадрате 33 все клетки покрашены в белый цвет. Разрешается перекрасить в другой цвет (белые — в черный, а черные — в белый) все клетки любого прямоугольника 12 (как вертикально, так и горизонтально расположенного). Можно ли несколькими такими операциями перекрасить в чёрный цвет все клетки?
20. Можно ли выписать 14 трехзначных чисел в ряд так, чтобы каждое следующее число было меньше предыдущего, но его сумма цифр была бы больше, чем у предыдущего?

(Фольклор) (Фольклор)
8-9 класс.

1. Докажите, что если x2 – х и x3 – x – натуральные числа, то число x – тоже натуральное.

2. Дано 5 натуральных чисел, не делящихся ни на 11, ни на 13. Докажите, что среди них найдутся два, сумма которых не делится ни на 11, ни на 13.

3. Назовём фигуру бисимметричной, если существуют такие две прямые, что для любой точки фигуры хотя бы одна из точек, симметричных ей относительно этих прямых, тоже принадлежит фигуре. Верно ли, что любой треугольник бисимметричен?

4. За круглым столом сидят 10 человек, занумерованных по часовой стрелке номерами от 1 до 10. Каждый из сидящих либо всегда говорит правду, либо всегда лжет. Первый сказал: «Мой сосед слева – лжец». Второй сказал: «Два моих соседа слева – лжецы». Третий сказал: «Три моих соседа слева – лжецы». ... Десятый сказал: «Десять моих соседей слева – лжецы». Сколько среди них могло быть лжецов?

5. Учительница дала отличнице Кате четыре положительных числа. Катя написала на доске числа 3, 4 и 7 и сказала, что каждое из них является суммой каких-то трех из четырех данных ей чисел. Докажите, что Катя ошиблась.

6. Имеется клетчатый прямоугольник размером 52001. Двое по очереди проводят по линиям сетки отрезки, соединяющие две стороны прямоугольника. Запрещается проводить отрезки по сторонам прямоугольника и проводить один отрезок дважды. Проигрывает тот, кто впервые ограничит единичный квадратик. Кто выиграет при правильной игре?

7. В стране 100 городов, из каждого города выходит хотя бы одна дорога. Докажите, что можно закрыть несколько дорог так, чтобы по-прежнему из каждого города выходило не менее одной дороги и при этом по крайней мере из 67 городов выходило ровно по одной дороге.

8. Углы при основании равнобедренного треугольника АВС (АВ=ВС) равны 20 градусам. D – основание биссектрисы угла С. Серединный перпендикуляр отрезка ВС пересекает прямую АВ в точке Е. Докажите, что AD = BE.

9. На координатной плоскости расположены 100 точек. Докажите, что существует не более 2025 прямоугольников с вершинами в этих точках и со сторонами, параллельными осям.

10. Пусть M и N – середины сторон AB и CD выпуклого четырехугольника ABCD. Известно, что серединные перпендикуляры к MN, AC и BD пересекаются в одной точке. Докажите, что AB=CD.

11. При каком наибольшем n по кругу можно расставить n различных чисел так, чтобы каждое из них равнялось произведению двух соседних?

12. В клетках квадратной таблицы 1010 стоят ненулевые цифры. В каждой строчке и в каждом столбце из всех стоящих там цифр составлено 10-значное число. Может ли оказаться, что из получившихся 20 чисел ровно одно не делится на 3?

13. Поля клетчатой доски размером 88 будем по очереди закрашивать в красный цвет так, чтобы после закрашивания каждой следующей клетки фигура, состоящая из закрашенных клеток, имела ось симметрии. Покажите, как можно, соблюдая это условие, закрасить 28 клеток. В качестве ответа расставьте на тех клетках, которые должны быть закрашены, числа от 1 до 28 в том порядке, в котором проводилось закрашивание.

14. Пять вершин правильного десятиугольника покрашены красным цветом, а остальные пять – синим. Докажите, что можно найти треугольник, все вершины которого – красные, и равный ему треугольник, все вершины которого синие.

15. Биссектриса угла A треугольника ABC пересекает серединный перпендикуляр стороны AB в точке X, серединный перпендикуляр стороны AC – в точке Y, а описанную окружность треугольника – в точке Z. Точки A, X, Y, Z лежат на биссектрисе в порядке перечисления. Докажите, что AX=YZ.

16. В трапеции ABCD с основанием AD AB = BC, AC = CD и BC+CD = AD. Найдите углы трапеции.

17. В треугольнике АВС ВС = 2АС, а D – такая точка на стороне ВС, что DAC = ABC. Прямая AD пересекает биссектрису внешнего угла при вершине С в точке М. Докажите, что АМ = АВ.

18. k и n – натуральные числа, большие 1. В группе из kn человек каждый знаком более, чем с (k–1)n из остальных. Докажите, что можно выбрать k+1 человека так, что все они знакомы друг с другом.

19. Докажите, что из любых 9 различных трехзначных чисел можно выбрать несколько и составить из них выражение, значение которого больше 2, но меньше 3, если разрешается использовать только знаки сложения, вычитания, умножения, деления и скобки.

20. 2p+3p = an, где a и n – натуральные числа, а p – простое. Докажите, что n = 1.
(Словения, 1997)

(О. Нечаева)

10-11 класс
1. На плоскости отмечена точка A. Требуется провести на плоскости несколько не проходящих через Aотрезков так, чтобы всякий луч, выходящий из отмеченной точки, пересекал хотя бы три из них. Каким наименьшим числом отрезков можно обойтись?

2. На плоскости отмечены 100 точек. Играют двое, ходят по очереди. За один ход можно соединить стрелкой две точки, если их не соединяли раньше. При этом запрещается проводить стрелку, после появления которой из любой точки можно будет добраться по стрелкам до любой другой. Проигрывает тот, кто не может сделать очередного хода без нарушения правил. Кто выиграет при правильной игре: тот, кто ходит первым, или его партнер?

3. Гармонизатором чисел х, у и zназывается число И.С. Рубанов, 78)

4. Все стороны выпуклого пятиугольника ABCDE равны, а BCD = 2ACE. Найдите ACE.

5. 100 волейбольных команд сыграли однокруговой турнир (каждая с каждой сыграла по одному разу), причём в каждом матче играли команды, имевшие к началу этого матча поровну очков. Сколько очков набрала команда-победительница? За победу в волейболе дают 1 очко, за поражение 0 очков, ничьих не бывает.

6. Число, большее 10, является произведением степени тройки на степень семерки. Докажите, что в его десятичной записи есть хотя бы одна четная цифра.

7. На сторонах треугольника ABC построены как на основаниях равнобедренные треугольники AKB, BLC и AMCс равными углами при вершинах K, Lи M. При этом треугольники AKB и BLC построены наружу, а точка M оказалась внутри треугольника ABC. Докажите, что KBLM– параллелограмм.

8. Докажите, что если 2<a, b, c, d<4,то
9. Каждое из двух натуральных чисел равно сумме трёх различных собственных делителей другого (собственным делителем числа называется отличный от него натуральный делитель). Докажите, что эти два числа равны.

10. Какое наименьшее количество шашек достаточно расставить по черным клеткам шахматной доски 88 так, чтобы никакие две шашки не стояли рядом по диагонали, но при добавлении еще одной шашки (в произвольную из оставшихся свободными черных клеток) такая пара появлялась?

11. Квадратный материк разделен на 19 стран в форме выпуклых многоугольников, причем нет точек, в которых сходились бы границы четырех или больше стран. Из всяких же трех границ, сходящихся в одной точке, одна закрыта, а две открыты для проезда. Докажите, что невозможно объехать все эти страны, побывав в каждой по одному разу и вернуться в исходную страну.

12. p и q – нечётные простые числа. Сумма натуральных чисел a и b равна q, а ap+bp – точный квадрат. Докажите, что p = q.

13. Сколькими способами из чисел 1, 2, …, 2n можно выбрать два или больше так, чтобы никакие два выбранных числа в сумме не давали 2n+1. (Польские олимпиады, 73)

14. В выпуклом четырёхугольнике АВСD выполнены равенства CBD = 2ADB, АBD = 2СDB и АВ = СВ. Докажите, что CD AD.

15. Сколько существует таких трехзначных чисел n, что n2+8n–1 делится на 239?

16. Юра составил из 32 раскрашенных доминошек квадрат 88 так, что любые две доминошки одного цвета не имеют общих точек. Докажите, что у Юры были доминошки хотя бы четырех цветов. (Ю.М Лифшиц, 52-а)

17. На плоскости дано 13 точек, причем из любых пяти четыре лежат на одной окружности. Докажите, что есть окружность, на которой лежат по крайней мере шесть из данных точек. (Олимпиада Фландрии, 1997, 61)

18. D, E и F – основания перпендикуляров, опущенных из внутренней точки М на стороны остроугольного треугольника АВС. Найдите геометрическое место таких точек М, что DEF = 90. (Ирландская олимпиада, 1997, 58)

19. Докажите, что при любых натуральных a и b число
20. В стране некоторые города соединены авиалиниями, причем из города А в город B нельзя попасть, сделав менее десяти пересадок. Докажите, что все авиалинии можно распродать 11 авиакомпаниям таким образом, что любой маршрут из A в B будет проходить по линиям, принадлежащим всем 11 компаниям. (Венгерский мат. журнал, 99)

(Словения, 1997)
перейти в каталог файлов
связь с админом